Fisica II: septiembre 2008

jueves, 18 de septiembre de 2008

2.2 Ley de Coulomb e Intensidad de Campo Elèctrico

La Ley de Coulomb lleva su nombre en honor a Charles-Augustin de Coulomb, quien fue el primero en describir en 1785 las características de las fuerzas entre cargas eléctricas. Henry Cavendish también obtuvo la relación inversa de la ley con la distancia, aunque nunca publicó sus descubrimientos y no fue hasta 1879 cuando James Clerk Maxwell los publicó.

La ley puede expresarse como: La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

Desarrollo de la ley

Coulomb desarrolló la balanza de torsión con la que determinó las propiedades de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tiende a regresarla a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un punto de la barra.

En la barra de la balanza, Coulomb colocó una pequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó otra esfera también cargada. Luego midió la fuerza entre ellas observando el ángulo que giraba la barra.

Dichas mediciones permitieron determinar que:

La fuerza de interacción entre dos cargas $q_1 \,\!$ y $q_2 \,\!$ duplica su magnitud si alguna de las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor en un factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la fuerza era proporcional al producto de las cargas:

$F \,\!$ $\propto \,\!$ $q_1 \,\!$ y $F \,\!$ $\propto \,\!$ $q_2 \,\!$

en consecuencia:

$F \,\!$ $\propto \,\!$ $q_1 q_2 \,\!$

Si la distancia entre las cargas es $r \,\!$ , al duplicarla, la fuerza de interacción disminuye en un factor de 4 (2²); al triplicarla, disminuye en un factor de 9 (3²) y al cuadriplicar $r \,\!$ , la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4²). En consecuencia, la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

$F \,\!$ $\propto \,\!$ $1\over r^2 \,\!$

Asociando ambas relaciones:

$F \,\!$ $\propto \,\!$ $q_1q_2\over r^2 \,\!$

Finalmente, se introduce una constante de proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:

$F = \kappa \frac{q_1 q_2}{r^2} \,\!$

Enunciado de la Ley

La ley de Coulomb es válida sólo en condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o, como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello llamada fuerza electrostática.

En términos matemáticos, la magnitud $F \,\!$ de la fuerza que cada una de las dos cargas puntuales $q_1 \,\!$ y $q_2 \,\!$ ejerce sobre la otra separadas por una distancia $d \,\!$ se expresa como:

$F = \kappa \frac{\left|q_1\right| \left|q_2\right|}{d^2} \,\!$

Dadas dos cargas puntuales $q_1 \,\!$ y $q_2 \,\!$ separadas una distancia $d \,\!$ en el vacío, se atraen o repelen entre sí con una fuerza cuya magnitud esta dada por:

$F = \kappa \frac{q_1 q_2}{d^2} \,\!$

La Ley de Coulomb se expresa mejor con magnitudes vec

toriales:

$\vec F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon}\frac{q_1 \cdot q_2}{d^2} \vec{u}_d = \frac{1}{4 \pi \epsilon} q_1 \cdot q_2 \frac{(\vec{d_2} -\vec{d_1})}{|\vec{d}_2-\vec{d}_1|^3} \,\!$

donde $\vec{u}_d \,\!$ es un vector unitario que va en la dirección de la recta que une las cargas, siendo su sentido desde la carga que produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.

El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el exponente fuera de la forma $(2+ \delta)\,\!$ , entonces $\left | \delta \right |< 10^{-16} \,\!$ .

2.1 Campos Electostàticos en el Vacio

Las cargas eléctricas no precisan de ningún medio material para influir entre ellas y por ello las fuerzas eléctricas son consideradas fuerzas de acción a distancia. En virtud de ello se recurre al concepto de campo electrostático para facilitar la descripción, en términos físicos, de la influencia que una o más cargas ejercen sobre el espacio que les rodea.

El concepto de campo surge ante la necesidad de explicar la forma de interacción entre cuerpos en ausencia de contacto físico y sin medios de sustentación para las posibles interacciones. La acción a distancia se explica, entonces, mediante efectos provocados por la entidad causante de la interacción, sobre el espacio mismo que la rodea, permitiendo asignar a dicho espacio propiedades medibles. Así, será posible hacer corresponder a cada punto del espacio valores que dependerán de la magnitud de la propiedad del cuerpo que provoca la interacción y de la ubicación del punto que se considera.

El campo eléctrico representa, en cada punto del espacio afectado por la carga, una propiedad local asociada al mismo. Una vez conocido el campo en un punto no es necesario saber qué lo origina para calcular la fuerza sobre una carga u otra propiedad relacionada con él.

Interacciones entre dos cargas Q y q (ejemplo)

Considérese una carga Q fija en una determinada posición. Si se coloca otra carga q en un punto $P 1$ , a cierta distancia de Q, aparecerá una fuerza eléctrica actuando sobre q.

Si la carga q se ubica en otros puntos cualesquiera, tales como $P 2$ , $P 3$ etc., evidentemente, en cada uno de ellos, también estaría actuando sobre q una fuerza eléctrica, producida por Q. Para describir este hecho, se dice que en cualquier punto del espacio en torno a Q existe un campo eléctrico originado por esta carga.

Obsérvese en la figura que el campo eléctrico es originado en los puntos $P 1$ , $P 2$ , $P 3$ etc., por Q, la cual, naturalmente, podrá ser tanto positiva (la de la figura) como negativa. La carga q que es trasladada de un punto a otro, para verificar si en ellos existe, o no, un campo eléctrico, se denomina carga de prueba.

El campo eléctrico puede representarse, en cada punto del espacio, por un vector, usualmente simbolizado por $\vec E \,\!$ y que se denomina vector campo eléctrico.

El módulo del vector en un punto dado se denomina intensidad del campo eléctrico en ese punto. Para definir este módulo, considérese la carga Q de la figura, generando un campo eléctrico en el espacio que la rodea. Colocando una carga de prueba q en un punto $P 1$ , se verá que sobre ella actúa una fuerza eléctrica. La intensidad del campo eléctrico en $P 1$ estará dada, por definición, por la expresión:

${\vec E} = \lim_{q \to 0} \frac {\vec F}{q}$

La expresión anterior permite determinar la intensidad del campo eléctrico en cualquier otro punto, tales como $P 2$ , $P 3$ , etc. El valor de E será diferente para cada uno de ellos.

De ${\vec E} = \frac {\vec F}{q}$ obtemos ${\vec F} = {\vec E} q$ , lo cual significa que si se conoce la intensidad del campo eléctrico en un punto, es posible calcular, usando la expresión anterior, el módulo de la fuerza que actúa sobre una carga cualquiera ubicada en aquél punto.

Representaciones Graficas de Campos Electricos

Representación de campos eléctricos creados por cargas puntuales negativa y positiva.

Representación del campo eléctrico creado por dos cargas positivas de igual magnitud y por un dipolo eléctrico.

Representación del campo eléctrico creado por dos cargas de diferente magnitud y signos opuestos.

2. Electrostàtica

La electrostática se encarga del estudio de las cargas eléctricas, las fuerzas que se ejercen entre ellas y su comportamiento en los materiales.

La electrostática es la rama de la física que estudia los fenómenos eléctricos producidos por distribuciones de cargas estáticas, esto es, el campo electrostático de un cuerpo cargado.

Históricamente: la electrostática fue la rama del electromagnetismo que primero se desarrolló. Con la postulación de la Ley de Coulomb fue descrita y utilizada en experimentos de laboratorios a partir del siglo XVII, y ya en la segunda mitad del siglo XIX las leyes de Maxwell concluyeron definitivamente su estudio y explicación permitiendo demostrar cómo las leyes de la electrostática y las leyes que gobernaban los fenómenos magnéticos pueden ser estudiados en el mismo marco teórico denominado electromagnetismo.

La existencia del fenómeno electrostático es bien conocido desde la antigüedad, existen numerosos ejemplos ilustrativos que hoy forma parte de la enseñanza moderna; como el de comprobar como ciertos materiales se cargan de electricidad por simple frotadura y atraen, por ejemplo, pequeños trozos de papel o pelo a un globo que previamente se ha frotado con un paño seco.

Benjamin Franklin haciendo un experimento con un rayo, que no es otra cosa que un fenómeno electrostático macroscópico.

Alrededor del 600 a. C. el filósofo griego Thales de Mileto describió por primera vez fenómenos electrostáticos producidos al frotar fragmentos de ámbar y comprobar su capacidad de atracción sobre pequeños objetos. Algo más tarde, otro griego, Teofrasto (310 a. C.), realizó un estudio de los diferentes materiales que eran capaces de producir fenómenos eléctricos, escribiendo el primer tratado sobre la electricidad.

A comienzos del siglo XVII comienzan los primeros estudios sobre la electricidad y el magnetismo orientados a mejorar la precisión de la navegación con brújulas magnéticas. El físico real británico William Gilbert utiliza por primera vez la palabra electricidad del griego elektron (ámbar). El jesuita italiano Niccolo Cabeo analizó sus experimentos y fue el primero en comentar que había fuerzas de atracción entre ciertos cuerpos y de repulsión entre otros.

Alrededor de 1672 el físico alemán Otto von Guericke construye la primera máquina electrostática capaz de producir y almacenar energía eléctrica estática por rozamiento. Esta máquina consistía en una bola de azufre atravesada por una varilla que servía para hacer girar la bola. Las manos aplicadas sobre la bola producían una carga mayor que la conseguida hasta entonces. Francis Hawkesbee perfeccionó la máquina de fricción usando una esfera de vidrio hacia 1707.

En 1733 el francés Francois de Cisternay du Fay propuso la existencia de dos tipos de carga eléctrica, positiva y negativa, constatando:

Los objetos frotados contra el ámbar se repelen
También se repelen los objetos frotados contra una barra de vidrio
Sin embargo, los objetos frotados con el ámbar atraen los objetos frotados con el vidrio.

Du Fay y Stephen Gray fueron dos de los primeros "físicos eléctricos" en frecuentar plazas y salones para popularizar y entretener con la electricidad. Como ejemplo, se electriza a las personas y se producen descargas eléctricas, siendo un ejemplo, el llamado beso eléctrico al electrificar una dama y esta dar un beso a una persona no electrificada.

En 1745 se desarrollaron los primeros elementos de acumulación de cargas, los condensadores desarrollados en la Universidad de Leiden por Ewald Jürgen Von Kleist y Pieter Van Musschenbroeck. Estos instrumentos, denominados botella de Leyden, fueron utilizados como curiosidad científica durante gran parte del siglo XVIII. En esta época se construyeron diferentes instrumentos para generar cargas eléctricas, en general variantes de la botella de Leyden, y para medir sus propiedades como los electroscopios.

En 1767, Joseph Priestley publicó su obra The History and Present State of Electricity sobre la historia de la electricidad hasta la fecha. El libro sería durante un siglo el referente para el estudio de la electricidad. En el, Priestley anuncia también alguno de sus propios descubrimientos como era la conductividad del carbón. Hasta entonces se pensaba que solo el agua y los metales podían conducir la electricidad.

En 1785 el físico francés Charles Coulomb publicó un tratado en el que se describían por primera vez cuantitativamente las fuerzas eléctricas, formulando las leyes de atracción y repulsión de cargas eléctricas estáticas, usando la balanza de torsión para realizar sus medidas. En su honor estas leyes se conocen con el nombre de ley de Coulomb. Esta ley, junto con su elaboración matemática más sofisticada a través del teorema de Gauss y la derivación de los conceptos de campo eléctrico y potencial eléctrico, describen la práctica totalidad de los fenómenos electrostáticos.

Durante todo el siglo posterior se sucedieron avances significativos en el estudio de la electricidad, los fenómenos eléctricos producidos por cargas en movimiento en el interior de un material conductor. Finalmente, en 1864 el físico escocés James Clerk Maxwell unificó las leyes de la electricidad y el magnetismo en un conjunto reducido de leyes matemáticas.

Representación de campo eléctrico producido por dos cargas.

sábado, 13 de septiembre de 2008

Tarea 3 ...Gradiente, Divergencia y Rotacional

1) Calcular el gradiente dela funcion.

a) f (x, y) $=4x^2-3xy+x^2$

$f^{\prime}x(x, y) = 8x-3y+0 = \begin{bmatrix}{8x-3y}\end{bmatrix}i$

$f^{\prime}y(x, y) = 0-3x+2y = \begin{bmatrix}{2y-3x}\end{bmatrix}j$

$\overline{V} = (8x-3y)i + (-3y+2y)j$

b) f (x, y, z) $= \displaystyle\frac{x-y}{x+y}$

Aplicando formula:

$\displaystyle\frac{u}{v} = \displaystyle\frac{V du-Udv}{v^2}$

$f^{\prime}x (x, y, z) =\displaystyle\frac{(x+z)\:\frac{df}{dx}(x-y)- (x-y)\:\frac{df}{dx}(x+z)}{(x+y)^2}$

$=\displaystyle\frac{(x+z)(1)- (x-y)(1)}{(x+y)^2}$

$=\displaystyle\frac{x+z-x+y}{(x+y)^2}$

= $\begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{x+y}{(x+z)^2}}\end{bmatrix} i$

$f^{\prime}y (x, y, z) =\displaystyle\frac{(x+z)\:\frac{df}{dy}(x-y)- (x-y)\:\frac{df}{dy}(x+z)}{(x+y)^2}$

$=\displaystyle\frac{(x+y)(-1)-(x-y)(0)}{(x+y)^2}$

$=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{-x-z}{(x+z)^2}\end{bmatrix}j$

$f^{\prime}z (x, y, z) =\displaystyle\frac{(x+z)\:\frac{df}{dz}(x-y)- (x-y)\:\frac{df}{dz}(x+z)}{(x+y)^2}$

$=\displaystyle\frac{(x+z)(0)-(x-y)(1)}{(x+z)^2}$

$=\begin{bmatrix}\displaystyle\frac{-x+y}{(x+z)^2}\end{bmatrix}k$

2) Calcular la Divergencia y el Rotacional de cada vectorial F.

a) F (x, y, z) $= 6x^2i-xy^2j$

$M=6x^2\,i$ $N=xy^2\,j$ $R=0\,k$

Divergencia $=12x\,i-2xy\,j$

$\frac{{\partial f}}{{\partial x}} =12x\,i$ $\frac{{\partial f}}{{\partial y}}= -2xy\,j$ $\frac{{\partial f}}{{\partial z}}= 0\,k$

Rotacional $=\overline{V} * F =\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial f}}{{\partial z}}}\\{M}&{N}&{R}\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}(\frac{{\partial f}}{{\partial y}})(R)-(\frac{{\partial f}}{{\partial z}})(N)\end{bmatrix}i\,-\,\begin{bmatrix}(\frac{{\partial f}}{{\partial x}})(R)-(\frac{{\partial f}}{{\partial z}})(M)\end{bmatrix}j\,+\,\begin{bmatrix}(\frac{{\partial f}}{{\partial x}})(N)-(\frac{{\partial f}}{{\partial y}})(M)\end{bmatrix}k$

$=\,i(0-0)\,-\,j(0-0)\,+\,k(-12x^2y^2+12x^3y)$

$=\,(0)i,\,-\,(0)j,\,(-12x^2y\,(y-x))k$

b) F (x, y, z) $= Senx\,i\,+\,Cosy\,j\,+\,z^2\,k$

$M=Senx\,i$ $N=Cosy\,j$ $R=z^2\,k$

Divergencia = Cosx i - Seny j + 2z k

$\frac{df}{dx}= Cos x\,i$ $\frac{{\partial f}}{{\partial y}} = -Seny\,j$ $\frac{{\partial f}}{{\partial z}}= 2z\,k$

Rotacional $=\overline{V} * F =\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial f}}{{\partial z}}}\\{M}&{N}&{R}\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}(\frac{{\partial f}}{{\partial y}})(R)-(\frac{{\partial f}}{{\partial z}})(N)\end{bmatrix}i\,-\,\begin{bmatrix}(\frac{{\partial f}}{{\partial x}})(R)-(\frac{{\partial f}}{{\partial z}})(M)\end{bmatrix}j\,+\,\begin{bmatrix}(\frac{{\partial f}}{{\partial x}})(N)-(\frac{{\partial f}}{{\partial y}})(M)\end{bmatrix}k$

$=\begin{bmatrix}(-Seny)(z^2)-(2z)(Cosy)\end{bmatrix}i\,-\,\begin{bmatrix}(Cosx)(z^2)-(2z)(Senx)\end{bmatrix}j\,+\,\begin{bmatrix}(Cosx)(Cosy)-(-Seny)(Senx)\end{bmatrix}k$

$=\begin{bmatrix}(-z^2Seny - 2zCosy\end{bmatrix}i\,-\,\begin{bmatrix}z^2Cosx - 2zSenx\end{bmatrix}j\,+\,\begin{bmatrix}CosxCosy + SenySenx\end{bmatrix}k$

c) F (x, y, z) $=e^xSeny\,i\,-\,e^xCosx\,j$

En el Punto (0, 0, 3)

$M= e^xSeny\,i$ $N= e^xCosx\,j$ $R= 0\,k$

Divergencia = $e^xSeny\,-\,e^xCosx$

$\frac{{\partial f}}{{\partial x}}= e^xSeny$ $\frac{{\partial f}}{{\partial y}}= e^xCosx$ $\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = 0$

Rotacional $=\overline{V} * F =\begin{bmatrix}{i}&{j}&{k}\\{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}&{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}&{\frac{{\partial f}}{{\partial z}}}\\{M}&{N}&{R}\end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix}(\frac{{\partial f}}{{\partial y}})(R)-(\frac{{\partial f}}{{\partial z}})(N)\end{bmatrix}i\,-\,\begin{bmatrix}(\frac{{\partial f}}{{\partial x}})(R)-(\frac{{\partial f}}{{\partial z}})(M)\end{bmatrix}j\,+\,\begin{bmatrix}(\frac{{\partial f}}{{\partial x}})(N)-(\frac{{\partial f}}{{\partial y}})(M)\end{bmatrix}k$

$=\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}i\,+\,\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}j\,-\,\begin{bmatrix}-2(e^xSeny\,e^xCosx\,+\,e^xSeny\,e^xCosx)\end{bmatrix}k$